A buchholz-számítás árnyoldala

Mennyire igazságos vajon a mostani pontszámítási rendszer?

Előzetesen annyit mindenképpen szeretnék tisztázni, hogy ezt a mostani cikket a hétvégi beholderes verseny ihlette, ahol csak a másodlagos pontoknak hála végeztem a második helyen Erdei Kristóf mögött. Természetesen nem az ő érdemeit szeretném kisebbíteni vagy vitatni ezzel az írással (ezúton is gratula az első profi behós győzelmedhez!), ugyanakkor felmerült bennem néhány gondolat, amit most szeretnék megosztani veletek.

verbe95-03A buchholz szót mindenki hallotta már, aki versenyez egy ideje: ez egy pontszámítási módszer, ami a holtversenyek esetén történő rangsorolásra lett kitalálva. A gyakorlatban ez úgy néz ki, hogy a sorsolóprogram összeadja azoknak a játékosoknak a pontszámát, akik ellen játszottál, és ez alapján rangsorol az azonos elsődleges ponttal rendelkezők (ami a nyert fordulók száma) között. Vagyis ha egy ötfordulós versenyen játszottál egy 4, két 3 és két 2 győzelmes játékossal, akkor (4+3+3+2+2)x3 = 42 lesz a buchholzod.

A rendszer önmagában igazságosnak tűnik: minél nehezebb ellenfeleid voltak, annál komolyabb meló volt elérni az adott győzelemszámot. Igen ám, de mi történik akkor, ha egy játékos kiszáll a versenyből?

Nos, ilyenkor egyértelműen hátrányba kerül az, akinek kiszáll egy ellenfele, hiszen az onnantól nem tudja gyűjteni neki a pontokat. Ezzel pedig torzul a buchholz-számítás is, hiszen simán előfordulhat, hogy valakinek úgy alacsonyabb a másodlagos pontja, hogy valójában jobban teljesítettek az ellenfelei.

57% > 63%

verbe95-04Ez a reláció alapesetben nem igazán értelmezhető, jelen szituációban mégis helytálló. Hiába zárt ugyanis Kristóf magasabb buchholz-cal, (43), mint én (40) (a sorsolóprogram sajnos nem mindig számol jól, ha vannak kiszálló játékosok, ezért a honlapon szereplő végeredményben nem ezeket az értékeket látjátok), mivel nekem két olyan ellenfelem is volt, aki nem játszotta végig a versenyt, ezért az alacsonyabb összpontszám ellenére magasabb volt az összesített győzelmi rátájuk.

Az ehhez hasonló problémákra a korrigált buchholz számítás jelenthetne megoldást, ami kivenné mindenkitől a leggyengébb ellenfelet. Ennek ráadásul egy másik következménye is lenne, hiszen így az erőnyerő sem jelentene “nullás” ellenfelet, vagyis holtverseny esetén nem számítana egyértelmű hátránynak. Ezek bevezetésére persze egy új sorsolóprogramra lenne szükség, ami nem terem csak úgy minden fán…

Zárásként megemlíteném még, hogy elviekben alternatíva lehetne a játszma alapján történő rangsorolás, amit a Beholder tesztelt is az év első pár versenyén, de ennek kapcsán elég sok negatív visszhang volt – részben jogosan, hiszen a program buchholz alapján sorsol menet közben, nem játszma alapján, így extra előnyt jelentene, ha valaki könnyebb ellenfeleket kap.

Ti mit gondoltok a mostani pontszámításról?

Csető Zsolt

Reklámok

13 thoughts on “A buchholz-számítás árnyoldala

  1. Egyet értek a dologgal, a bochulz elég “torz”, pl. itt vidéken, kis játékosszámnál, ha páratlanul vagyunk, és a döntőben valakivel játszom, leX-elünk, általában az nyer, aki nem játszott az “erőnyerővel”.
    Szóval én támogatnám 🙂

  2. Hát azért ha 4 fordulóból csak 2-t nyertél+X+Erőnyerő,akkor azért ne is legyél már első 😀

  3. Én azt gondolom, hogy tök fölöslegesen játsszuk ezt a játékot egyáltalán svájci rendszerben, a lényegét veszíti el a dolog azzal, hogy nincsen rangsorolás.
    Régen be kellett volna már vezetni azt, hogy (profi pontok, az előző nemzeti bajnokságon elért helyezés, vagy akármi más alapján, ez részlet kérdés) rangsor van, és már az első fordulóban is párosítás lenne, nem pedig sorsolás.
    Itt jegyezném meg, hogy Miklós következetesen rosszul használja évtizedek óta a párosításra a “FIGYE-LEM!! SORSO-LÁÁS!” kifejezést, mert a svájci rendszerben párosítás van, nem pedig sorsolás, hiszen nem kaphatsz akárkit, hanem egy meghatározott algoritmus szerint kapod az ellenfeledet.
    Sakkversenyeken már az első fordulóban is, HKK-versenyeken csak a második fordulótól.
    Svájci rendszerű sakkversenyeken nagyon kevés helyen használják már a holtversenyek eldöntésére a Buchholz-számítást. Réges rég átvette már a helyét a Progresszív, ami egy sokkal igazságosabb alapfeltevésre épül, és – nem utolsó sorban – sokkal könnyebben ki is tudod számolni magadnak a pontodat.
    Ennek a számítási módszernek nyilvánvalóan csak akkor van értelme, ha van rangsor a játékosok között.
    Ha ez meglenne, akkor a Progresszív alkalmazásával azonnal megszűnne a Zsolti által vázolt probléma.

    Egyébként:
    Ezt is jeleztem már egyébként Miklósnak, hogy szerintem HKK-versenyeken sokkal indokoltabbnak tartanám a Scheweningeni lebonyolítási rendszer használatát a Svájci rendszer helyett. Mivel ez nem sakk (tehát az egymással leülő ellenfelek nem egyenlő esélyekkel vágnak neki a harcnak, a matchupok miatt), ezért sokkal igazságosabb lenne a verseny, és nem lenne abból gond, hogy elmegyek Mezővel a sok epikus, meg Járj, meg manó miatt, aztán megkapom az első két fordulóban a mezőny mindkét Sokszínjét, oszt’ viszo’hallásra.

    Az előnye ennek a rendszernek az igazságosságon túl az lenne, hogy rövidebbek lennének a versenyek. A hátránya meg nyilván az, hogy minden helyezettből kettő lenne. Ez utóbbit viszont simán ki lehetne küszöbölni, hogy az utolsó forduló a helyosztó lenne a legjobb 8-nak, vagy akár 16-nak.
    Ami pedig ebből egyenesen következik, (és ezt én szintén pozitívnak fogom fel), hogy a döntő ténylegesen döntő lenne, vagyis ha valaki a 6 fordulóból 5-öt megnyer, az nem 4. lenne a nap végén, csak mert elvesztette a döntőt, hanem – értelemszerűen – második.
    Így a középmezőny nem játszana estig tök értelmetlenül, és sokkal kevesebb lenne a matchupok (és így a szerencse) szerepe egy-egy versenyen.

    Persze nyilván nehéz az évtizedes gyakorlaton hirtelen egy ekkora változtatást eszközölni, de egy próbát mindenképpen megérne.

    Abban biztos vagyok, hogy a jelenlegi rendszer az általam említett három közül toronymagasan a legrosszabb, legkényelmetlenebb, és legigazságtalanabb.
    Na de hát vártunk mást? Dehogy! Behó, én így szeretlek. 🙂

    Meryx voltam.
    Szevasztok.

  4. Zorall:
    Amit leírtál, az nem jöhet ki. Ha nincs vereséged, nem leszel erőnyerő. (Itt a Behó egyébként szintén helytelenül az “Előnyerő” szót használja. 🙂 )
    Ilyen nincs, hogy 4/2 win, 1X, egy erőnyerés. Maximum akkor, ha az első fordulóban nyersz erőt, de az egyrészt nem számít (kiemelés nélkül), másodszor pedig a Buchholz miatt nem fogod megnyerni a versenyt a végén az X-el.
    Ha lenne kiemelés, akkor az első fordulóban nem lennél Erőnyerő, és probléma megoldva.

  5. Aquamarine:
    Igen,arra gondoltam,hogy első körben nyersz erőt. És pontosan,én is ezt írom,hogy nehogy már ily módon nyerjen már valaki a végén,hogy még az elején potyázott is 😀 az kéne még…

  6. Teljesen egyet értek azzal, hogy ez a pontszámítási rendszer nem jó.

    Ki kell próbálni a Progresszív számítást és a Scheweningeni lebonyolítási rendszert is!

    Ha végül valamelyik jobbnak bizonyul, akkor át kellene térni arra.

    Én vállalom a Dungeonben mindkettőt, csak segítséget kérek hozzá!

  7. Hali!

    Csak, hogy mindenki értse is, leírnátok, hogy mit is értetek progresszív illetve scheweningeni pontszámítás alatt? Nem mindenki sakkozik 🙂 és amit találtam róla, az még érthetetlenebbnek tűnt, szóval kíváncsi lennék, hogy lehetne ezt alkalmazni HKK-ra…

    De ennyi erővel holt versenyben egy plusz 20 perces játszma, alap deck-kel is dönthetne, csak az első helyről és nincs vita, vagy nem az egymás elleni eredménynek kellene elsősorban számítania? Ha meg döntetlen volt, akkor tényleg az számít, hogy kik ellen játszottál. Akármilyen pontszámítási módszert használtok, mindig lesz valaki, akinek kedvez és lesz olyan, akinek meg nem…

  8. Adom, az októberi versenyt tolhatnánk egy újfajta számítással,lehet hogy egy jobbat kitudnánk találni, én a következőket találtam:

    Berger-Sonneborn-számítás:

    Az ellenfelek összesített mezőnypontszámai és az ellenük elért eredmények (1, ½, 0) szorzatainak összege. Ez a számítási módszer előnyben részesíti a sikeresebb pontszerző ellen elért jobb eredményt.

    Progresszív-számítás:

    Az aktuális fordulóban megszerzett mezőnypontok és az előző fordulók összesített előrehaladási pontszámának számtani összegzése. Ez a számítási módszer előnyben részesíti az elejétől fogva az élbolyban nehezebben megszerezhető pontokat az elején elhullajtott és később könnyebben begyűjthető pontokkal szemben.

    TPR (teljesítmény)-számítás:

    Teljesítmény elváráson alapuló ÉLŐ pontszám-változás számítása. Ez a pontszámítás előnyben részesíti a személyre szabott alacsonyabb elvárásnak megfelelő teljesítményt.

    Rating (ÉLŐ)-számítás:

    Előnyben részesíti a magasabb hozott ÉLŐ pontot.
    A rendszer lényege, hogy a versenyeken elért helyezés alapján lényegében szubjektív arányok alapján odaítélt pontszámok helyett a megítéléstől független statisztikai módszert alkalmaz. Sok sportágban egyes versenyeket másokhoz képest kiemelten kezelnek, például aki megnyer egy bizonyos golf versenyt, az az egyéni értékelésben akár ötször annyi pontot is szerezhet, mint aki egy kevesebbre tartott verseny nyertese.

    A statisztikai módszer ehelyett olyan modellt alkalmaz, amelyben egy-egy mérkőzés eredményét az egyes játékosok addigi játékerejét képviselő változó határozza meg. Az erősebb játékost megverni jó eredmény, amely pozitívabb módon hat vissza a győztes játékerő-változójára, mintha viszonylag gyengébb játékos ellen győzött volna, ha viszont valaki gyengébb játékerejű ellenféltől kap ki, az negatívan hat a saját játékerő-változójára. Így a rendszer megőriz valamit a jutalom-büntetés elemeiből, de valójában statisztikai jellegű

    Egymás elleni eredmény:

    A holtversenyben érintett versenyzők egymás ellen elért összesített mezőnypontszáma dönti el a végső sorrendet. Rendkívül igazságos számítási módszer, de nem alkalmazható hatékonyan a körbeverés során kialakult több játékost érintő holtverseny esetén, továbbá hibája, hogy a színeloszlással sem kalkulál.

  9. Tehát lefordítva
    – Súlyozott számtani átlaggal való pontszámítás
    – Súlyozott statisztikai átlaggal való számítás,
    – Eddig elért eredmények (profi pontszám, versenyek helyezése, stb.) alapján Élő-pontszám számítás. Ami messze a legnagyobb átalakítás, s nem hiszem, hogy a várható eredményhez képest, megéri az erőforrás-ráfordítás.

  10. Velem mondjuk már előfordult behós profin (évekkel ezelőtt), hogy 5ből nyertem az első 4 fordulót, döntetleneztem a szintén 4 győzelmes ellenfelemmel, aki megnyerte a versenyt, úgy hogy előnyerő volt az első fordulóban…

    DM

  11. @Meryx

    Sajnos nem igazán ismerem a scheveningeni lebonyolítási rendszert (mint ahogy szerintem sokan mások se), de amit itt-ott olvastam róla aszerint sakkban akkor használják, ha csapatok játszanak egymással. Nem látom, hogy ez hogy vetíthető le a HKK-ra, ha csak nem arra gondolsz a Mező vs. Sokszín példáddal, hogy a verseny elején beosztják a játékosokat csoportokba attól függően, hogy milyen paklikkal indulnak, hogy mindenki hasonló párosításokat kapjon? Ha igen, az érdekes felvetés, de a gyakorlatban nem tartom kivitelezhetőnek.

    A progresszívról nem nagyon találtam semmi konkrétat, hogy hogy működik a matekja, azon kívül, amit Patrik is bemásolt.

    Egyébként én azt olvastam, hogy az erőnyerőt nem nullás buchholzcal szokták számítani, hanem a játékos saját elsődleges pontjai alapján, amiből aztán levonnak egy fél meccsnek megfelelő pontszámot. Ez, vagy a korrigált buchholz is megoldás az erőnyerőre, de a kiszálló játékosokra nem feltétlenül, mert mi van, ha valakinek mondjuk két ellenfele is kiszállt (és ne adj isten még erőnyerő is volt mellé). Erre az lehetne megoldás, ha a buchholzszámításnál az egyes ellenfelek átlagos meccsenkénti eredményeit néznénk, nem az összesítettet. (Ebbe nem gondoltam mélyebben bele, nyilván ez is torzítana, de szerintem korrektebb képet adna összességében.)

  12. A Progresszív számítást nem kell túlbonyolítani. Baromi egyszerű. Ha egy 5 fordulós versenyen megnyered az első fordulót, akkor 5 progresszív pontot kapsz, ha a másodikat akkor 4-et, és így tovább, ha az utolsót, akkor 1-et. Ha ixszelsz az adott fordulóban, akkor a megszerezhető progresszív pontok felét kapod meg, ha pedig kikapsz, akkor abban a fordulóban nem kapsz progresszív pontot.
    Így ha elveszíted a döntőt, akkor 1 progresszívet buksz összesen, míg aki az első fordulót elveszíti, és utána a többit nyeri, az nem fog megelőzni téged a surranópályán, gyenge ellenfelek hátán felkapaszkodva.

    Egyszer egy hétfordulós svájci rendszerű sakkversenyt megnyertem úgy, hogy az első fordulóban döntetlent játszottam, a másodikban pedig veszítettem. A hátralévő 5-öt megnyertem, de ebben az 5 partiban 3x nagyon gyenge ellenféllel játszottam. Valahogy úgy alakultak az utolsó két fordulóban az eredmények, hogy a végén 3-an álltunk 7/5,5 ponttal, és engem hozott ki a rendszer győztesnek a Buchholz alapján. Engem, aki nem hogy az első, de még a második táblán sem játszottam egyetlen partit sem.

    Másik példa: Behó amatőrön egyszer vesztettem az elsőt, utána 3-at nyertem, nyilván jóval gyengébb ellenfelek ellen, és 3. lettem.

    Megérdemeltem a fenti két eredményt? Nyilván rohadtul nem….
    Ha Progresszívet alkalmaznánk a Buchholz helyett, sokkal reálisabb végeredmény született volna mindkét esetben, és ez kiküszöböli a hazamenő játékosok negatív hatását is. Erőnyerés esetén természetesen jár a Progresszív pont az adott fordulóra. Ez a rangsor utolsó kiemeltjének jelent egy kis pluszt, de az úgyis a legkisebb kezdő gyerek szokott lenni a versenyen, így még jobb kedve is lesz ettől, az élmezőny csatájába meg úgysem fog beleszólni.

    Ilyen fals eredmények csak Buchholz másodlagos pontszámítás mellett jöhetnek ki.
    Itt tennék is egy javaslatot a kezdő játékosoknak, amíg a jelenlegi rendszer fut:
    Ha 4 fordulós Behó amatőrön indultok, és ki akartok jutni a nemzetire (3. hely), veszítsétek el az első fordulót. Könnyebb ellenfeleket fogtok kapni, és 4/3-al simán odaértek a 3. helyre a végén. Az első fordulós vereség miatt máris 1-el több Buchholz-pontotok van, mintha nyertetek volna! 😉

    A Progresszív számításnak természetesen csak akkor van értelme, ha normális svájci rendszerben játszunk, és van rangsor a verseny elején. A svájci rendszernek az a lényege, hogy az azonos pontszámú mezőnyt mindig megfelezik, és az első kap először ellenfelet: az alsóház elsőjét, aztán a második a másodikat, és így tovább.
    Egy 30 fős mezőnyben tehát az első fordulóban az első kiemelt kapja a 16.-at, a 2. a 17-et és így tovább. Így nem lesznek csúcsrangadók az első 2 fordulóban garantáltan, és a második kiemeltnek nem megy el a versenye azért, mert már az első vagy a második fordulóban megkapja az első kiemeltet, akit megkaphatott volna a döntőben is.

    Ebben a kezdetleges párosító programban egyszerűen random össze vannak rakva az azonos pontszámú ellenfelek. Egyetlen kritérium, hogy még nem játszottak egymással. Nincs megfelezve a mezőny sem az első, sem a későbbi fordulókban.

    A Progresszív számítás természetesen nem oldja fel azt a helyzetet, hogy két 100%-os döntőjének X eredménye után ki nyeri a versenyt, de szerintem jó néhányan megtapasztaltuk már, hogy egy elbukott döntő után mennyire demoralizáló a 4. helyen végezni…. Tapasztalataim szerint döntő egyébként nagyon ritkán végződik döntetlennel a hosszabbítás miatt, még ha jelen cikk íróját pont egy ilyen esemény is ihlette….
    Azonos progresszív esetén jöhetne a játszmaarány, vagy méginkább a Berger-Sonneborn. Bár erre szintén hatással vannak a hazamenő játékosok, de azért messze nem annyira, mint a Buchholz-ra. Báááár, ez a párosító program amit használunk….. Ezzel valószínűleg ez nem is lenne megvalósítható, hiszen ha valakit kiveszünk a versenyből, az nem kapja tovább a Buchholz-ot sem.

    A Berger-Sonneborn számítás leírása közérthetően:
    Akit megversz, annak megkapod a Buccholzát, akivel x-elsz, annak a Buccholzának a felét. Ha valaki elveszíti az első két fordulót és hazamegy, de az első ellenfele nyeri a versenyt, és a másik is gyűjt szépen, akkor a hazamenő játékosnak elég szép Buchholza gyűlik össze, amit a második körös ellenfél megkap (meg persze az első is). Ezzel csak az a probléma, hogy a behós program lezárja az ember Buchholzát, ha hazamegy. Nem gyűlik a verseny végéig, hanem annyin marad, amennyi két forduló után volt. Ezt megnézhetitek bármelyik végeredményben.
    Ha ez rendesen lenne számolva, akkor ha belegondoltok, sokkal ésszerűbb (omfg, ezt 2016 óta így írják helyesen… Hát nem szégyen? Abban az évben került be a “deviszont” szó is a szótárba… hihetetlen… na, de vissza a témához), még a Berger-számítás alkalmazás is a Buchholzal szemben, hiszen nem minden ellenfeledtől kapsz másodlagos pontokat, hanem csak akik ellen elérsz valamilyen eredményt.

    Félreértés ne essék: a Buchholz pontok kiszámítása szükségszerű svájci rendszerű verseny esetén, de az inkább az alapja a további pontszámításoknak, mintsem hogy közvetlenül ez alapján kellene a rangsort csinálni.

    A scheweningeni rendszer egy nagyon érdekes rendszer, szerintem néhány próbát mindenképpen megér. Nyilván nem egy 30 fős Behós profin kell először kipróbálni, hanem 8-10 fős vidéki versenyeken.
    A versenyzőket két csoportra kell osztani, de nyilván nem a hozott pakli alapján, hanem szigorúan politikai, vallási, vagy bőrszín alapon. Haha. A legcélszerűbb, hogy a párosan kiemeltek mennek az egyik csoportba, a páratlanok a másikba, de akár véletlenszerűen is lehet sorsolni a csoportokat, bár úgy érdekes esetek jöhetnek ki, főleg kisebb létszám esetén. 🙂
    A lényeg az, hogy a versenyen végig mindenki olyan ellenfelekkel játszik, akik a másik csoportban vannak. Így nem befolyásolja az ellenfeleid eredménye a te helyezésedet a csoporton belül. Nem fog valaki azért előtted végezni, mert ő Sokszínt hozott, te meg mezőt. Meg fog ugyan verni, ő másik csoportban van, ezért megelőzni nem fog.
    Első körben azokkal az játékosokkal leszel összemérve, akikkel garantáltan nem kerülsz össze, de ugyanazokkal (vagy szinte ugyanazokkal, létszámfüggő) játszotok. Vagyis nem egy párosításon megy el a versenyed, hanem az dönt, hogy jobban mérted-e fel a metát, mint a többiek. Adott X, és Y, valamint adott 5 ellenfél. X és Y is ugyanazzal az 5 ellenféllel mérkőzik meg a nap folyamán. Az fog előrébb végezni, aki több pontot szerez ugyanazok ellen az ellenfelek ellen, de egymással nem játszik X és Y, mert a 3-4 fordulós versenyeken a kelleténél jobban befolyásolja az eredményt egy rossz (vagy éppen egy jó) matchup.

    Ha 10 ember megy el egy vidéki versenyre, akkor 2db 5 fős csoport lesz. A csoportban minden játékos játszik B csoport minden játékosával, de a végén A csoport és B csoport játékosai úgy vannak rangsorolva külön-külön, hogy a csoporton belül nem játszott senki senkivel, viszont mindenki pont ugyanazokkal az ellenfelekkel játszott. Amikor megvan a két csoport végeredménye, akkor jöhetnek a helyosztók. Döntőt a két győztes játssza, 3. helyért a 2 második, stb.

    Ez sok résztvevős versenyen nyilván nem lehet “körmérkőzést” játszani, itt két egymásba ágyazott svájci-rendszerű lebonyolításra van szükség. Ezt jól megcsinálni nagyon kemény munka, teljes embert kíván a verseny alatt, de aki párosított már kézzel svájci rendszert, az meg tudja csinálni, és én azt gondolom, hogy nagyon megéri. 1-2 próbát mindenképpen. A végén a veled hasonlóan álló csoporttagok nagy százalékban ugyanazokkal az ellenfelekkel játszottak, mint te. Hiszen eleve kisebb a merítés, nem kaphatsz bárkit.
    Ha belegondoltok, ez egy elég igazságos rendszer, még ha a megvalósítása elsőre ijesztőnek is tűnhet. Írtam korábban is, kis létszámú versenyen kell kipróbálni először.
    Biztos hogy ezt nem veszi be mindenkinek a gyomra, és elég nagy váltás, de én gondolkodom rajta, hogy szervezek egy ilyen lebonyolítású versenyt elsőnek.

    Persze ennek az egész írásnak semmi értelme nincs addig, amíg nem vezetünk be valamilyen rendszert, ami alapján rangsoroljuk a játékosokat. Be lehetne vezetni az akár az Élő rendszert is, a gyakorlati számítása sokkal-sokkal egyszerűbb, mint amit fentebb leírt valaki. Én már 10 évesen mindig kiszámoltam magamnak, hogy sakkban mennyi lesz a következő negyedéves (akkor még negyedévente jött ki az új lista) Élő-pontom.

    Összegezve: Az biztos, hogy a jelenlegi, Buchholz-os rangosorlás nem igazságos, vannak ennél sokkal jobb rendszerek.
    Az is biztos, hogy nem kell látatlanban azonnal a feje tetjére állítani a világot, de szerintem egy rangsorolási rendszer megalkotása, és onnantól a tényleges svájci párosítás használata, valamint a Progresszív számítás másodlagos pontként való használata még Behós léptékkel sem kellene hogy hipertérugrást jelentsen….

    Jó éjt!

    Meryx

ÉN IS HOZZÁSZÓLOK!

Adatok megadása vagy bejelentkezés valamelyik ikonnal:

WordPress.com Logo

Hozzászólhat a WordPress.com felhasználói fiók használatával. Kilépés /  Módosítás )

Google kép

Hozzászólhat a Google felhasználói fiók használatával. Kilépés /  Módosítás )

Twitter kép

Hozzászólhat a Twitter felhasználói fiók használatával. Kilépés /  Módosítás )

Facebook kép

Hozzászólhat a Facebook felhasználói fiók használatával. Kilépés /  Módosítás )

Kapcsolódás: %s

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.